1. Penjumlahan
Penjumlahan pada bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan telah disepakati bahwa arah bilangan bulat positif ke kanan dan arah bilangan bulat negatif ke kiri. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut ini:Contoh
1. Hitunglah penjumlahan dari :a. 4 dan 5
b. 5 dan (-2)
Penyelesaian
a. Dari nol sebagai titik pangkal, kita melangkah 4 satuan ke kanan, dilanjutkan dengan 5 satuan ke kanan. Hasil penjumlahannya adalah jarak dari titik nol ke posisi terakhir, yaitu 9.
b. Dari titik nol kita melangkah 5 satuan ke kanan, kemudian melangkah 2 satuan ke kiri. Hasil penjumlahannya adalah 3.
2. Hitunglah penjumlahan –3 dan –4:
Penyelesaian
Bilangan positif + bilangan positif = bilangan positif.
Bilangan negatif + bilangan negatif = bilangan negatif.
Bilangan positif + bilangan negatif = bilangan positif atau negatif.
Jika bilangan positif > bilangan negatif hasilnya bilangan positif.
Jika bilangan positif < bilangan negatif hasilnya bilangan negatif.
Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:
1. Sifat tertutup
Perhatikan contoh di bawah ini:
a. 2 + 9 = 1 -> 2 dan 9 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat.
b. (–11) + (–9) = –20 -> –11 dan –9 adalah bilangan bulat
Hasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat.
c. –12 + 25 = 13 -> –12 dan 25 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat.
Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua buah bilangan bulat atau lebih akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
2. Sifat komutatif (pertukaran)
Perhatikan beberapa contoh berikut:
a. 5 + 7 = 12 ---> 7 + 5 = 12 | Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
b. 10 + (–5) = 5 ---> (–5) + 10 = 5 | Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10
c. –4 + (–5) = –9 ---> (–5) + (–4) = –9 | Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4)
Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
3. Sifat asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan bilangan bulat.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
a. (–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10 ---> –5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10 | Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8)
b. {7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 11 ---> 7 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11 | Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6}
c. {–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14 ---> –3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)} | Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
4. Unsur identitas penjumlahan
Perhatikan contoh-contoh berikut:
a. 2 + 0 = 2 c. –10 + 0 = –10
b. 5 + 0 = 5 d. 0 + 2 = 2
Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan suatu bilangan dengan
nol atau sebaliknya akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Nol disebut unsur identitas
penjumlahan. Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.
5. Invers/lawan
Setiap bilangan bulat mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bulangan bulat adalah bilangan bulat lain yang letaknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol, tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan bulat semula.
Contoh
Tulislah lawan dari 5.Penyelesaian
Kita cari bilangan lain yang berjarak sama dari 0, tetapi arahnya berlawanan dengan 5. Bilangan itu adalah –5. Jadi, invers (lawan) dari 5 adalah –5. Secara umum dituliskan:
Lawan (invers) dari a adalah –a.
2. Pengurangan pada Bilangan Bulat
Pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangannya, misalnya:1. 8 – 5 = 8 + (–5) = 3 | Jadi, 8 – 5 = 8 + (–5)
2. –1 – 4 = –1 + (–4) = –5
3. 9 – (–5) = 9 + 5 = 14
Untuk setiap a dan b bilangan bulat berlaku:
1. a – b = a + (–b) 3. –a – (–b) = –a + b
2. a –(–b) = a + b 4. –a – b = –a + (–b)